Nesta
passagem, Beremiz – o homem que calculava – e seu colega de jornada encontraram
três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos.
Por entre
pragas e impropérios gritavam, furiosos:
- Não pode
ser!
- Isto é um
roubo!
- Não
aceito!
O
inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
- Somos
irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos como heranças esses 35 camelos.
Segundo vontade de nosso pai devo receber a metade, o meu irmão Hamed uma terça
parte e o mais moço, Harin, deve receber apenas a nona parte do lote de
camelos. Contudo, não sabemos como realizar a partilha, visto que a mesma não é
exata.
- É muito
simples – falou o Homem que Calculava. Encarrego-me de realizar, com justiça, a
divisão se me permitirem que junte aos 35 camelos da herança este belo animal,
pertencente a meu amigo de jornada, que nos trouxe até aqui.
E, assim foi
feito.
- Agora –
disse Beremiz – de posse dos 36 camelos, farei a divisão justa e exata.
Voltando-se
para o mais velho dos irmãos, assim falou:
- Deverias
receber a metade de 35, ou seja, 17, 5. Receberás a metade de 36, portanto, 18.
Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
E,
dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
- E tu,
deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de
36, ou seja, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro
na transação.
Por fim,
disse ao mais novo:
- Tu,
segundo a vontade de teu pai, deverias receber a nona parte de 35, isto é, 3 e
tanto. Vais receber uma nona parte de 36, ou seja, 4. Teu lucro foi igualmente
notável.
E, concluiu
com segurança e serenidade:
- Pela
vantajosa divisão realizada, couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo, e
4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4) de 34 camelos. Dos 36 camelos,
sobraram, portanto, dois. Um pertence a meu amigo de jornada. O outro, cabe por
direito a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da
herança!
- Sois
inteligente, ó Estrangeiro! – exclamou o mais velho dos irmãos. Aceitamos a
vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e equidade!
Solução do
Problema
O total de
35 camelos, de acordo com o enunciado da história, deve ser repartido, pelos
três herdeiros, do seguinte modo:
- O mais
velho deveria receber a metade da herança, isto é, 17 camelos e meio.
- O
segundo deveria receber um terço da herança, isto é, 11 camelos e dois
terços.
- O
terceiro, mais moço, deveria receber um nono da herança, isto é, 3 camelos
e oito nonos. Feita a partilha, de acordo com as determinações do
testador, haveria uma sobra.
17 e 1/2 +
11 e 2/3 + 3 e 8/9 = 33 e 1/18
Observe que
a soma das três partes não é igual a 35, mas sim a 33 e 1/18. Há, portanto, uma
sobra que seria de um camelo e 17/18 de camelo.
A fração 17/18 exprime a soma 1/2 + 1/3 + 1/9, frações que representam pequenas sobras. Aumentando-se de 1/2 a parte do primeiro herdeiro, este passaria a receber a conta certa de 18 camelos; aumentando-se de 1/3 a parte do segundo, este passaria a receber um número exato de 12 aumentando se de 1/9 a parte do terceiro herdeiro, este receberia exatos quatro camelos. Observe porém que consumidas com esse aumento as três pequenas sobras, ainda há um camelo fora da partilha.
Como fazer esse aumento das partes de cada herdeiro?
Esse aumento foi feito admitindo-se que o total de camelos não era 356, mas 36 camelos (com o acréscimo de 1 ao dividendo).
Mas, sendo o dividendo 36, a sobra passaria a ser de dois camelos.
Tudo resultou, em resumo, do fato seguinte: Houve um erro do testador.
A metade de um todo, mais a terça parte desse todo, mais um nono desse todo, não é igual ao todo. Vejam:
1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18
Para completar o todo, falta, ainda, 1/18 desse todo. O todo, no caso, é a herança dos 35 camelos.
1/18 de 35, é igual a 35/18
A fração 35/18 é igual a 1 e 17/18
Conclusão feita a partilha, de acordo com o testador, ainda haveria uma sobra de 1 e 17/18.
Beremiz, com o artifício empregado, distribuiu os 17/18 pelos três herdeiros (aumentando a parte de cada um) e ficou com a parte inteira da fração excedente.
Fonte: TAHAN, Malba, O Homem que Calculava. Rio de Janeiro: Record, 2007.
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